문과가 설명해주는, 쉽지만 깊은 수학을 알려주는 문과선배입니다!
학생들을 지도했던 경험을 떠올리며, 어떻게 설명했을 때 학생들이 가장 잘 이해하고 재미있어하였는지를 생각하며 이를 교재에 녹여내고 있어요.
오늘부터는 제가 쓰고 있는 교재의 내용들을 포스팅하려 합니다 :)
많은 분들에게 도움이 되길 바래요! 자, 시작해볼까요??
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1. 다항식의 사칙연산
이번시간과 다음시간을 통해 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대해 이야기해볼게요. 자, 다항식이 뭐였죠?
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. (얼른 대답해보세요!)
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이런걸 대답할 수 있어야 됩니다! 아무리 문제만 많이 푼다고 실력이 느는게 아니라, 정확한 개념을 말할 수 있어야 해요.
다항식이란, “1개 이상의 단항식을 덧셈 또는 뺄셈으로 연결한 식”입니다.
예를 들어볼까요? $3x+4$, $2x^2-2x+1$ 같은 게 있을거에요.
$3x+4$는 최고차항의 차수가 1차이므로 1차 다항식, $2x^2-2x+1$ 의 경우 최고차항의 차수가 2차이므로 2차 다항식이라고 부를 수 있겠네요.
1) 다항식의 덧셈과 뺄셈
(1) 다항식의 덧셈
$(2x^2+3x+1)+(x^2+x+1)$을 계산해볼까요?
아마도 여러분은 너무나 자연스럽게, 동류항끼리 더하고 있을 겁니다. 즉, $2x^2$과 $x^2$, $3x$와 $x$, 1과 1을 각각 더해서 $3x^2+4x+2$ 라고 대답했을거에요. 이렇듯, 덧셈의 경우 동류항끼리 묶어서 계산하면 됩니다.
(2) 다항식의 뺄셈
뺄셈은 어떨까요? 사실, 뺄셈은 덧셈이랑 똑같은 친구에요. 아마 여기에서 고개를 갸우뚱하는 친구가 있을지 모르겠네요.
$1-2$라는 계산을 생각해볼까요?
$1+(-2)$로 바꿀 수 있으니까, 결국 어떤 수에서 어떤 수를 뺀다는 건 – 부호 붙인 걸 더하는 거랑 똑같다는 거에요. 그렇다면, 다항식끼리 뺄 때도 더할 때와 마찬가지로 동류항끼리 묶어서 빼주면 되겠네요. 쉽죠?
(3) 교환법칙과 결합법칙
다항식의 덧셈에는(당연히 뺄셈에도 적용!), “교환법칙”과 “결합법칙”이 성립해요.
먼저 교환법칙은, 다항식 A와 B에 대하여 ‘A와 B를 더하는 거나 B와 A를 더하는 게 똑같다’라는 거에요.(당연한 것처럼 들릴거에요!) 이를 식으로 나타내면, 이렇게 쓸 수 있겠죠?
또 다른 당연해 보이는(?) 법칙으로는, 결합법칙이 있어요. 이는 A와 B를 먼저 더하고 그다음에 C를 더하는거나, B와 C를 더하고 그다음에 A를 더하는거나 똑같다라는 거에요. 식으로 나타내면 다음과 같아요.
$$(A+B)+C=A+(B+C)$$
너무나 당연해 보이는 두 가지 법칙이지만, 다항식의 계산에 있어 밑바탕이 되는 공식이기 때문에 계산 과정에서 어떤 법칙이 쓰였는지 아는 것은 꽤 중요하답니다. 이쯤에서 문제를 한번 풀어볼까요?
| 예제 1 |
| 두 다항식 $A=3x^2-2x$, $B=x^2+x-1$에 대하여 $A+B$를 간단히 하면? |
| <답> $4x^2-x-1$ |
| (해설) $A+B =(3x^2-2x)+(x^2+x-1) =(3x^2+x^2)+(-2x+x)+(-1) =4x^2-x-1$ |
| 닮은꼴 유제 1 |
| 세 다항식 $A=x^2-x-4, B=3x+1, C=-2x^2+2x$에 대하여 다음 (1)~(6)을 간단히 하여라. (1) $A+B$ (2) $B-C$ (3) $A+C$ (4) $A+B+C$ (5) $A+2B-C$ (6) $2A+2B-C$ |
| <답> (1) $x^2+2x-3$ (2) $2x^2+x+1$ (3) $-x^2 +x-4$ (4) $-x^2+4x-3$ (5) $3x^2+3x-2$ (6) $4x^2+2x-6$ |